Actividades Fractales (II)
8.-  

(**) Construye las siguientes figuras: 

  • Nivel 1:  Un triángulo equilátero de lado unidad 
  • Nivel 2:  Se aplican, al triangulo anterior, tres homotecias razón 1/2 y centro sus tres vértices.
  • Nivel 3:  Se aplican, a la figura anterior, a la figura obtenida en el paso anterior, tres homotecias razón 1/2 y centro los tres vértices del triángulo inicial.

¿Qué figura obtenemos si reiteramos el proceso anterior de forma indefinida?

9.- a)

(*) La alfombra de Sierpinski se puede generalizar para cualquier polígono regular. Así, el triángulo de Sierpinski (que es la figura obtenida en el ejercicio anterior) se obtiene del siguiente modo:

En un triangulo equilátero de lado 1 se marcan los puntos medios de sus lados y se unen formando cuatro triángulos equiláteros de lado 1/2 y quitamos el triángulo central. En cada uno de los tres nuevos triángulos se repite el proceso. Y así sucesivamente.

b)

(**) Intenta conseguir, siguiendo un proceso análogo al anterior, el hexágono de Sierpinski 
c) (*) Visita la página http://www.mathcurve.com/fractals/fractals.shtml de la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables y compara la figura que acabas de obtener con las que allí se representan.
10.-  

(***) En "third.apex.to.fractovia"  (http://www.fractovia.org/what/what_es2.html)  puedes encontrar una introducción intuitiva al concepto de dimensión fractal ¿De dónde crees que se obtiene el valor 1,584962... para la dimensión del triángulo de Sierpinski?
11.-   La alfombra de Sierpinski también puede generalizarse al espacio partiendo de un poliedro regular. Así podemos obtener el cubo o esponja de Sierpinski, el tetraedro de de Sierpinski,...
a) (*) ¿Cuántos poliedros regulares existen y, por tanto, cuántas "esponjas" diferentes podemos formar?
b)

(*) Completa para el cubo de Sierpinski, el siguiente cuadro:

Nivel 1 2 3 4
Número de cubos 2  10             
Número de caras  12       
Número de vértices        

¿Se cumple el Teorema de Euler en estos poliedros? ¿Por qué?

c) (**) Obtén una fórmula para calcular el número de cubos, caras y vértices del cubo de Sierpinski de nivel n.
d) (**) Si partimos de un cubo de volumen V, y sumamos el volumen de los cubos que añadimos en cada paso. ¿Cuál será el resultado final?
12.-   (*) Dibuja la curva de Hilbert de nivel 3. ¿Cuál es su longitud si el lado del cuadrado completo es de 10 cm?.
13.-   (*) Utiliza algunos buscadores de Internet (como http://www.terra.es, http://www.ozu.es, http://www.google.com,....) para crear un pequeño glosario de páginas relacionadas con los fractales y una galería de figuras fractales.
14.-  

(*) En la página de la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables, que has visitado anteriormente habrás podido observar un triángulo de Sierpinski? Realizado con latas de coca-cola. Ahora te proponemos que, formando equipo con otros compañeros, construyáis un tetraedro de Sierpinski con cartulina u otros materiales.

15.-  

(***) Un procedimiento se dice recursivo si se define en función de si mismo. Por ejemplo, el factorial de un número n puede calcularse del siguiente modo: - Si n=0 su factorial es 1: 0!=1. - Si n>0 el factorial de n es igual a n por el producto del factorial de n-1: n!=n.(n-1)!

Todas las curvas fractales que hemos visto están definidas de forma recursiva. Por ejemplo, para dibujar el nuevo árbol del ejercicio 2: 

Mientras n sea mayor que 0
     Dibuja un segmento 
     Gira a la izquierda 45º
     Dibuja un nuevo árbol de segmento mitad y nivel n-1 
     Gira a la derecha 90º
     Dibuja un nuevo árbol de segmento mitad y nivel n-1 
     Gira a la izquierda 45º
     Retrocede un segmento (vuelve a la posición inicial de este nivel)
fin 

Trata ahora de definir de forma recursiva el procedimiento para construir el fractal curva C:

 
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